Question

（2013•懷柔區二模）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的直徑為18，cosB=

1

3

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接CD、OD，求出AD=BD，根據三角形中位線得出OD∥AC，推出DE⊥OD，根據切線判定推出即可．
（2）求出BD，求出AD，解直角三角形求出即可．

解答：解：（1）DE與⊙O相切，理由如下：
連接CD、OD，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，
∴DO是△ABC的中位線，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴cos∠B=cos∠A=

1

3

，
∵cos∠B=

BD

BC

=

1

3

，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cos∠A=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=4

2

．

點評：本題考查了勾股定理，解直角三角形，切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力．