Question

善于學習的小敏查資料知道：對應角相等，對應邊成比例的兩個梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個問題，你能幫助解決嗎？
問題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）從特殊情形入手探究．假設梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖①）．根據相似梯形的定義，請你說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似；
（2）一般結論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形

 

；（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”．不要求證明）
問題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個小梯形是否相似？
（1）從特殊平行線入手探究．梯形的中位線截兩腰所得的兩個小梯形

 

；（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”．不要求證明）
（2）從特殊梯形入手探究．同上假設，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點P，Q在梯形的兩腰上，如圖②），使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎？請根據相似梯形的定義說明理由；
（3）一般結論：對于任意梯形（如圖③），一定

 

（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個小梯形相似．若存在，則確定這條平行線位置的條件是

AP

PB

=

 

．（不妨設AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．不要求證明）

Answer 1

分析：兩個梯形相似，因而兩個梯形的對應腰的相等，對應底的比相等；這個圖形中判定相似要同時滿足這幾個條件．反之，若相似則兩個梯形的對應腰的相等，對應底的比相等．

解答：解：問題一：（1）兩個梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而這兩個梯形一定不相似；
（2）不相似．
問題二：（1）不相似；
（2）梯形APQD與梯形PBCQ相似，
∴

AD

PQ

=

PQ

BC

，即

2

PQ

=

PQ

8

解得：PQ=4．
∵

AP

PB

=

AD

PQ

=

2

4

=

1

2

．
又∵AP+PB=6，
∴AP=2
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
則

AD

PQ

=

PQ

BC

，

AP

PB

=

AD

PQ

，
∵AD=a，BC=b，
∴PQ=

AD•BC

=

ab

，
∴

AP

PB

=

a

ab

=

ab

b

．

點評：本題考查了多邊形相似的性質，對應邊的比相等，反之，相似圖形的判定方法是對應角相等，對應邊的比相等．