Question

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一點(diǎn)，且滿足∠BAD=

1

2

∠C，以AD為直徑的⊙O與AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）連接EF，若tan∠AEF=

4

3

，AD=4，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由AC=BC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，三角形ABC，利用內(nèi)角和定理列出關(guān)系式，等量代換得到∠B+

1

2

∠C=90°，再將已知等式代入得到∠B與∠BAD互余，進(jìn)而確定出AD垂直于BC，即可確定出BC為圓的切線；
（2）連接DF，由AD為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到DF垂直于AC，再由AD垂直于DC，利用同角的余角相等得到∠ADF=∠C，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ADF=∠AEF，由tan∠AEF的值得到tan∠ADF的值，即為tan∠C的值，在直角三角形ADC中，由tan∠C的值設(shè)出AD=4x與DC=3x，再由AC=BC，根據(jù)BC-CD表示出BD，再由AD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出x的值，即可確定出BD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴2∠B+∠C=180°，
∴∠B+

1

2

∠C=90°，
∵∠BAD=

1

2

∠C，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AD為⊙O直徑的，
∴直線BC是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接DF，

∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=∠CD+∠FDC=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF=

4

3

，
∴tan∠C=tan∠ADF=

4

3

，
在Rt△ACD中，設(shè)AD=4x，則CD=3x，
∴AC=

AD2+DC2

=5x，
∴BC=5x，BD=2x，
∵AD=4，
∴x=1，
∴BD=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．