Question

【題目】（1）問題背景：已知：如圖①-1，，點的位置如圖所示，連結，試探究與、之間有什么數量關系，并說明理由．(將下面的解答過程補充完整，括號內寫上相應理由或數學式)

解：（1）與、之間的數量關系是：(或只要關系式形式正確即可)

理由：如圖①-2，過點作．

∵(作圖)，

∴(　　)，

∴(已知)

(作圖)，

∴_______(　　)，

∴_______(　　)，

∴(等量代換)

又∵(角的和差)，

∴(等量代換)

總結反思：本題通過添加適當的輔助線，從而利用平行線的性質，使問題得以解決．

（2）類比探究：如圖②，，點的位置如圖所示，連結、，請同學們類比（1）的解答過程，試探究與、之間有什么數量關系，并說明理由．

（3）拓展延伸：如圖③，，與的平分線相交于點，若，求的度數，請直接寫出結果，不說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由見解析；兩直線平行，同旁內角互補；CD，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；180°，兩直線平行，同旁內角互補；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD，理由見解析；（3）∠P=56°．

【解析】

（1）如圖②，過點P作PE∥AB，依據平行線的性質，即可得到與、之間的數量關系；
（2）過點P作PE∥AB，依據平行線的性質，即可得出∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD，進而得到∠APC=∠APE+∠CPE，即可得到∠APC=∠PAB+∠PCD；

（3）根據角平分線的性質及平行線的性質求解即可．

（1）∠APC與∠PAB、∠PCD之間的關系是：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°

(或∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)只要關系式形式正確即可)

理由：如圖①-2，過點P作PE∥AB．

∵PE∥AB(作圖)，

∴∠PAB+∠APE=180°(兩直線平行，同旁內角互補)

∵AB∥CD(已知)

PE∥AB(作圖)，

∴PE∥CD(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，

∴∠CPE+∠PCD=180°(兩直線平行，同旁內角互補)，

∴∠PAB+∠APE+∠CPE+∠PCD=180°+180°=360°(等量代換)

又∵∠APE+∠CPE=∠APC(角的和差)，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°(等量代換)

（2）∠APC與∠PAB、∠PCD之間的關系是：∠APC=∠PAB+∠PCD

理由：過點P作PE∥AB，

∴∠PAB=∠APE(兩直線平行，內錯角相等)

∵AB∥CD(已知)

PE∥AB(作圖)，

∴PE∥CD(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，

∴∠PCD=∠CPE(兩直線平行，內錯角相等)

∵∠APE+∠CPE=∠APC(角的和差)，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD(等量代換)

（3）∠P=56°．

理由：如圖③，∵與的平分線相交于點，
∴∠PBA=2∠BA， ∠PDC=2∠DC，

∴∠PBA+ ∠PDC=2(∠BA+DC)

由(2)可得: ∠P=∠PBA+∠PDC, ∠=∠AB+∠CD
∴∠P=2(∠BA+DC)=2∠=2×28°=56°