Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于點E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，且PM=PN，tan∠EMP=3．
（1）如圖，當點E與點C重合時，求MP的長；
（2）設AP=x，△ENB的面積為y，求y與x的函數關系式，并求出當x取何值時，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理求出AB的值，然后又三角形的面積公式建立等量關系求出EP的值，最后在Rt△CMP中由題目條件通過解直角三角形就可以求出MP的值．
（2）分E在AC上和在BC上時兩種情況進行考慮，先利用三角形相似求出EP的值，再通過解直角三角形求出MP的值，最后根據三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數關系式．根據自變量的取值范圍和化為頂點式就可以求出其最大值．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，
∴．  
由面積公式可得  AB•CP=BC•AC．
∴． 
∵PC⊥AB，tan∠CMP=3，
∴． 
（2）分兩種情況考慮：
①當點E在線段AC上時，如圖②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵∠APE=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB．
∴，即 ，
∴．
∵tan∠EMP=3，
∴．
∴．
∴．
當點E與點C重合時，．
∴自變量x的取值范圍是：0＜x＜32． 
②當點E在線段BC上時，如圖③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵∠BPE=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPE∽△BCA．
∴，即 ，
∴．
∵tan∠EMP=3，
∴．
∴．
∴．
y與x的函數關系式為
當點E在線段AC上時，，
此時，當x=20時，y有最大值為．
而當點E在線段BC上時，y的最大值為點E與點C重合時，顯然沒有大．
∴當x=20時，y有最大值，最大值為．

點評：本題考查了勾股定理的運用，相似三角形的判定與性質，二次函數的最值，三角形的面積，銳角三角形函數的定義的運用．