Question

【題目】麻城市思源實驗學校自從開展“高效課堂”模式以來，在課堂上進行當堂檢測效果很好．每節課40分鐘教學，假設老師用于精講的時間x（單位：分鐘）與學生學習收益量y的關系如圖1所示，學生用于當堂檢測的時間x（單位：分鐘）與學生學習收益y的關系如圖2所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點），且用于當堂檢測的時間不超過用于精講的時間．

（1）求老師精講時的學生學習收益量y與用于精講的時間x之間的函數關系式；

（2）求學生當堂檢測的學習收益量y與用于當堂檢測的時間x的函數關系式；

（3）問此“高效課堂”模式如何分配精講和當堂檢測的時間，才能使學生在這40分鐘的學習收益總量最大？

Answer 1

【答案】（1）老師精講時的學生學習收益量y與用于精講的時間x之間的函數關系式為y=2x；

（2）學生當堂檢測的學習收益量y與用于當堂檢測的時間x的函數關系式為；

（3）老師在課堂用于精講的時間為33分鐘，學生當堂檢測的時間為7分鐘時，學習收益總量最大．

【解析】（1）由圖設該函數解析式為y=kx，即可依題意求出y與x 的函數關系式.

（2）本題涉及分段函數的知識，需要注意的是x的取值范圍依照分段函數的解法解出即可.

（3）設學生當堂檢測的時間為x分鐘（0≤≤15），學生的學習收益總量為W，則老師在課堂用于精講的時間為（40-x）分鐘，用配方法的知識解答該題即可.

解：（1）設y=kx，把（１，２）代入，得k=2．∴y=2x．

自變量x的取值范圍是：０≤x≤４0．

（2）當0≤x≤８時，設y=a（x-８）2+６４，

y=

把（0，0）代入，得６４a+６４=0，a=-1．

∴y=-（x-８）2+６４=-x2+1６x．

當８=x=15時，y=６４

（3）設學生當堂檢測的時間為x分鐘（0=x=15），學生的學習收益總量為W，則老師在課堂用于精講的時間為（40-x）分鐘．

當0=x=8時，w=-x2+16x+2（40-x）=-x2+14x+80=-（x-7）2+129．

∴當x=7時,W 最大=129．

當8=x=15時，W=64+2（40-x）=-2x+144．

∵W隨x的增大而減小， ∴當x=8時，W最大=128

綜合所述，當x=7時，W最大=129，此時40-x=33．

即老師在課堂用于精講的時間為33分鐘，學生當堂檢測的時間為7分鐘時，學習收益總量最大．

“點睛”本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的運用，頂點式求二次函數的最大值的運用，解答時求出二次函數的解析式是關鍵.