Question

（本題12分）閱讀材料：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部的線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）.我們可行出生種計算三角形面積的新方示：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:
如圖2，拋物線頂點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B.
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）求△ABC的鉛垂高CD及S_△ABC
（3）設點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使，
若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為： 
把A（3，0）代入解析式得 a(3-1)²+4="0. " 解得
所以 ………………………………………2分
設直線AB的解析式為：
由求得B點的坐標為
把，代入得
解得：
所以  ……………………………………………………………  4分
（2）因為C點坐標為（1，4）所以當x＝１時， y₂＝2
所以CD＝4-2＝2  ……… 5分
 …………………………………………………………  6分
（3）假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，則
由S_△PAB=S_△CAB   得：
化簡得：   
解得   …………………………………………………………………  10分
將代入中，得.
所以存在符合條件的P點,其坐標為 ………………………………  12分

解析