Question

已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置，點B，D重合，且點E、B（D）、C在同一條直線上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，現將△DEF沿直線BC以每秒個單位向右平移，直至E點與C點重合時停止運動，設運動時間為t秒．
（1）試求出在平移過程中，點F落在△ABC的邊上時的t值；
（2）試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數關系式；
（3）當D與C重合時，點H為直線DF上一動點，現將△DBH繞點D順時針旋轉60°得到△ACK，則是否存在點H使得△BHK的面積為？若存在，試求出CH的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）8或10       （2）s=（12﹣t）²        （3）見解析

試題分析：（1）當F在邊AB上時，如圖（1），作AM⊥BC，則AM=AB=×6=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴=，即=，解得：BE=2，則移動的距離是：6+2=8，則t==8；
當F在AC上時，如圖（2）同理可得：EC=2，則移動的距離是：2×6﹣2=12﹣2=10，則t==10，
故t的值是：8或10；
（2）當0＜t≤6時，重合部分是三角形，如圖（3），設AB與BE交于點N，
則BD=t，
則NB=BD=t，ND=BD=×t=t，則s=NB•ND=×t×t=t²；
當6＜t＜10時，如圖（4），則CD=t﹣6，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=t﹣6，
則在直角△THC中，TH=TC=（t﹣6）=t﹣9，
則s=18﹣CD•TH=18﹣（t﹣6）（t﹣9）=﹣（t﹣6）²+18；
當10≤t＜12時，重合部分如圖（5），
EC=12﹣t，
則直角△ECJ中，EJ=EC=（12﹣t），
則s=EC•EJ=×（12﹣t）²=（12﹣t）²．
（3）當B，H，K在一條直線上時，CH=CK=BC•tan30°=6×=6，
設CH=x，作HL⊥BC于點L，則HL=x，
△CKH是邊長是x的等邊三角形，則面積是x²，
△BCH的面積是：BC•HL=3×x=x，
△BCK的面積是：3x．
當0＜CH＜6時，△BHK的面積=△BCK的面積﹣△CKH的面積﹣△BCH的面積，即3x﹣x﹣x²=4，方程無解．
當CH＞6時，△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積﹣△BCK的面積，即x²+x﹣3x=4，解得：x=8或﹣2（舍去），故x=8
總之，CH=8．






點評：本題考查了相似三角形的性質，正確對t的情況進行分類是關鍵．