Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=﹣x²+bx+c．點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式．
（2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積．
（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²﹣3x+4。
（2）12
（3）存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（﹣3，1）或（﹣2，2）。

試題分析：（1）首先求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）設點C坐標為（m，0）（m＜0），根據已知條件求出點E坐標為（m，8+m）；由于點E在拋物線上，則可以列出方程求出m的值．在計算四邊形CAEB面積時，利用S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB﹣S_△BCO，可以簡化計算。
（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°兩種情況討論。
解：（1）在直線解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）。
∵點A（﹣4，0），B（0，4）在拋物線y=﹣x²+bx+c上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：y=﹣x²﹣3x+4。
（2）設點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=﹣m，AC=4+m。
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°。∴△ACD為等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴點E坐標為（m，8+m）。
∵點E在拋物線y=﹣x²﹣3x+4上，∴8+m=﹣m²﹣3m+4，解得m=﹣2。
∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6。
∴S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB﹣S_△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12。
（3）設點C坐標為（m，0）（m＜0），
則OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，則D（m，4+m）。
∵△ACD為等腰直角三角形，若△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形。
i）若∠BED=90°，則BE=DE，
∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E（m，4）。
∵點E在拋物線y=﹣x²﹣3x+4上，
∴4=﹣m²﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣3。∴D（﹣3，1）。
ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=﹣m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E（m，4﹣m）。
∵點E在拋物線y=﹣x²﹣3x+4上，
∴4﹣m=﹣m²﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣2。
∴D（﹣2，2）。
綜上所述，存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（﹣3，1）或（﹣2，2）。