Question

（2013•倉(cāng)山區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C（2，-1），與x軸交于點(diǎn)A（1，0），其對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接AC，過(guò)點(diǎn)A做AC的垂線交拋物線于點(diǎn)D，交對(duì)稱(chēng)軸于E，求直線AD的解析式；
（3）在（2）的條件下，連接BD，若點(diǎn)P在x軸正半軸，且以A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)該拋物線解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）²-1．把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入來(lái)求a的值即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求得∠FAC=45°，則∠DAB=45°，故可設(shè)直線AD的解析式為y=x+b．把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入并求得b的值；
（3）以A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，對(duì)于這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊沒(méi)有明確的情況下，需要分類(lèi)討論：①如圖1，當(dāng)△ABD∽△AEP時(shí)；②如圖2，當(dāng)△ABD∽△APE時(shí)；③如圖3，當(dāng)△ABD∽△PAE時(shí)．根據(jù)這些相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得線段AP的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C（2，-1），
∴設(shè)該拋物線解析式為y=a（x-2）²-1（a≠0）．
把點(diǎn)A（1，0）代入，
解得a=1，
∴該函數(shù)解析式為：y=（x-2）²-1．（或y=x²-4x+3）．

（2）∵由（1）知，該函數(shù)解析式為：y=（x-2）²-1=（x-1）（x-3），
即y=（x-1）（x-3），
∴A（1，0）．
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)是C（2，-1），CF是對(duì)稱(chēng)軸，
∴AF=CF=1，∠AFC=90°，
∴∠FAC=45°，
∵AC⊥AD，
∴∠DAB=45°，故可設(shè)直線AD的解析式為y=x+b．
把點(diǎn)A（1，0）代入，
解得b=-1，
∴直線AD的解析式為y=x-1．

（3）∵由（2）知，∠DAB=45°，即∠EAF=45°，
∴在直角△AEF中，∠EAF=∠AEF=45°，
∴AF=EF=1，
∴AE=

2

，AB=2．
∵點(diǎn)D的拋物線y=x²-4x+3與直線ADy=x-1的交點(diǎn)，
∴

y=x2-4x+3 y=x-1

，
解得，

x=1 y=0

（不合題意，舍去），或

x=4 y=3

，
∴D（4，3），
∴AD=3

2

，BD=

10

①如圖1，當(dāng)△ABD∽△AEP時(shí)，

AB

AE

=

AD

AP

，即

2

2

=

3 2

AP

，
解得AP=3，
∴P（4，0）；
②如圖2，當(dāng)△ABD∽△APE時(shí)，

AE

AD

=

AP

AB

，即

2

3 2

=

AP

2

，解得：AP=

2

3

，∴P（

4

3

，0）；
③如圖3，當(dāng)△ABD∽△PAE時(shí)，

AB

PA

=

BD

AE

，即

2

PA

=

10

2

，解得，AP=

2 5

5

，∴P（1-

2 5

5

，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0）、（

4

3

，0）和（1-

2 5

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)．第（3）小題中，用到了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．