Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到如圖1的位置時，
①通過觀察、猜想，△ADC和△CEB的關系是：______；
②猜想DE、AD、BE三者之間滿足的數量關系是：______；
③請證明你的上述兩個猜想．
（2）當直線MN繞著點C順時針旋轉到MN與AB相交于點F（AF＞BF）的位置（如圖2所示）時，請直接寫出下列問題的答案：
①請你判斷△ADC和△CEB還具有（1）中①的關系嗎？
②猜想DE、AD、BE三者之間具有怎樣的數量關系．

Answer 1

解：（1）①△ADC≌△CEB，
②DE=AD+BE；
③∵∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD+BE；

（2）①成立，△ADC≌△CEB，
②DE=AD-BE．
分析：（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據AAS即可得到答案；
②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出DE=AD+BE；
（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到DE=AD-BE．
點評：本題主要考查了旋轉的性質、鄰補角的意義，全等三角形的性質和判定等知識點，能根據已知證出符合全等的條件是解此題的關鍵，題型較好，綜合性比較強．