Question

如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上設計出一個平行四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，并且AE=AH=CG=CF．
（Ⅰ）若已知矩形的長為20m，寬為10m，設CG=x，寫出四邊形EFGH的面積y關于x的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；當CG取多長時，四邊形EFGH的面積最大？
（Ⅱ）當矩形的長為a，寬為10時（a＞10），問當CG取多長時，四邊形EFGH的面積最大？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，BC=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵CG=CF=AE=AH=x，則DG=BE=20-x，DH=BF=10-x，
∴S_{四邊形EFGH}=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△DHG，
=200-x²-（20-x）（10-x），
=-2x²+30x，
其中x的取值范圍是0＜x≤10，
當x=時，S_{四邊形EFGH}最大．

（Ⅱ）同理可得S=-2x²+（10+a）x（0＜x≤10），
當0＜≤10，且a＞10，即10＜a≤30時，
CG=時，四邊形EFGH的面積最大；
當＞10，即a＞30時，
CG=10時，四邊形EFGH的面積最大．
分析：（Ⅰ）根據題意，設CG=x，由圖得S_{四邊形EFGH}=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△DHG，可得二次函數關系式，根據其性質，即可解出；
（Ⅱ）根據二次函數的性質，分兩種情況：0＜≤10和＞10，討論解答出即可；
點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，應熟練掌握利用二次函數的性質求最值，同時注意分類討論．