Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD，CD分別是△ABC兩個外角的平分線。

（1）求證：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

（1）根據三角形外角的性質得到∠CAF=∠B+∠ACB，由AB=AC可得∠B=∠ACB，即可得到∠CAF=2∠B，根據角平分線的性質可得∠CAF=2∠FAD，即可得到∠B=∠FAD，則可得AD//BC，根據平行線的性質可得∠D=∠DCE，再根據角平分線的性質可得∠DCE=∠ACD，即可證得結論；
（2）由△ABC中，AB=AC，∠B=60°可證得△ABC是等邊三角形，即得AB=BC=AC，由AD=AC可得AD=BC，再結合AD//BC可證得四邊形ABCD是平行四邊形，再有AB=BC即可證得結論.

解析試題分析：（1）∵∠CAF是△ABC的外角
∴∠CAF=∠B+∠ACB
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠CAF=2∠B 
∵AD是△ABC兩個外角的平分線
∴∠CAF=2∠FAD 
∴∠B=∠FAD  
∴AD//BC  
∴∠D=∠DCE
∵CD是△ABC外角的平分線
∴∠DCE=∠ACD 
∴AC=AD；
（2）∵△ABC中，AB=AC，∠B=60° 
∴△ABC是等邊三角形
∴AB=BC=AC  
∵AD=AC   
∴AD=BC 
又∵AD//BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
∵AB=BC 
∴四邊形ABCD是菱形.
考點：三角形的外角的性質，角平分線的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定
點評：此類問題是初中數學的重點，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.