Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知B點的坐標為B（8，0）．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸方程．

（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由．

（3）在拋物線上BC之間是否存在一點D，使得△DBC的面積最大？若存在請求出點D的坐標和△DBC的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的解析式為y═;對稱軸方程為x=3;(2)相似，理由見解析；（3）當t=4時，△DBC的最大面積為16，此時D點坐標為（4，6）

【解析】

（1）直接把點B（8，0）代入拋物線y=﹣+bx+4，求出b的值即可得出拋物線的解析式，進而可得出其對稱軸方程；

（2）求出A點坐標，再由銳角三角函數的定義得出tan∠ACO=tan∠CBO，故∠ACO=∠CBO，由此可得出結論；

（3）求出BC解析式，將S△BCD轉化為DHOB，設D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），面積可轉化為S△BCD=﹣（t﹣4）2+16，△DBC的最大面積為16，此時D點坐標為（4，6）．

（1）∵B點的坐標為B（8，0），∴﹣16+8b+4=0，解得：b=，∴拋物線的解析式為y═﹣+x+4，對稱軸方程為x=﹣=3；

（2）由（1）知，拋物線的對稱軸方程為x=3，B（8，0），∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA=2，OC=4，OB=8，∴tan∠ACO=tan∠CBO=，∴∠ACO=∠CBO．

∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB．

（3）設BC解析式為y=kx+b，把（8，0），（0，4）分別代入解析式得：，解得：，∴y=﹣x+4．

作DH⊥x軸，交BC于H．設D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD=DHOB=×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8=﹣t2+8t=﹣（t2﹣8t+42﹣16）=﹣（t﹣4）2+16

當t=4時，△DBC的最大面積為16，此時D點坐標為（4，6）．