Question

【題目】已知△ABC 是等腰直角三角形， BC AC ，ABC BAC ，直角頂點 C 在 x 軸上，一銳角頂點 B 在 y 軸上.

（1）如圖①若 AD 于垂直 x 軸，垂足為點 D .點 C 坐標是 1, 0 ，點 A 的坐標是 3,1 ， 求點 B 的坐標.

（2）如圖②，直角邊 BC 在兩坐標軸上滑動，若 y 軸恰好平分 ABC ， AC 與 y 軸交于點D ，過點 A 作 AE y 軸于 E ，請猜想 BD 與 AE 有怎樣的數量關系，并證明你的猜想.

（3）如圖③，直角邊 BC 在兩坐標軸上滑動，使點 A 在第四象限內，過 A 點作 AF y 軸于 F ，在滑動的過程中，兩個結論①為定值；②為定值，只有一個結論成立，請你判斷正確的結論加并求出定值.

Answer 1

【答案】(1) 點B的坐標是(0,2)；(2) AE=BD，理由見解析；（3）①為定值，定值為1.

【解析】

（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．

（2）延長AE交BC的延長線于點F，證明△ABE≌△FBE即易求AE= AF；再證 △BCD≌△ACF，可得BD=AF，即可得結論；

（3） =1，若證明則過點A作AE⊥CO于E，證明△BOC≌△CEA即可．

(1)∵AD⊥x軸，x軸⊥y軸

∴∠ADC=∠COB=90°

∵點C坐標是(1,0),點A的坐標是(3,1)

∴AD=OC=1,OD=3

∴DC=2

在Rt△ADC和Rt△COB中

∴Rt△ADC≌Rt△COB(HL)

∴OB=CD=2

∴點B的坐標是(0,2)

(2)猜想：AE=BD，理由如下：

如圖，延長AE、BC交于點F，

∵y軸平分∠ABC，AE⊥y軸，

∴∠ABE=∠FBE,

∴AE=EF，∴∠AEB==∠FEB=90°

∵BE=BE

∴△BEA≌△BEF

∴AF=2AE，

∵AE⊥Y軸，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDC，

∴∠EAD+∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BDC+∠CBD=90°，

∴∠DAE=∠CBD，

在△BCD和△ACF中,

∴△BCD≌△ACF，

∴BD=AF，

∵AF=2AE，

∴BD=2AE；

∴AE=BD

(3)結論 成立理由如下：

如圖3，作AE⊥OC于E，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCB+∠OCA=90°，

∵∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

在△OBC和△ECA中

.

∴△OBC≌△ECA，

∴OB=CE，

∵AF=OE

∴①是定值，

②，而2AF與AB的關系不知，

∴②不是定值

即：①為定值, =1.