Question

【題目】如圖，是的直徑，是上一點，平分，．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，則的長度為 ．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）．

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質，角平分線的定義得到∠DAC=∠OCA，證明OC∥AD，根據平行線的性質得到∠OCD=∠ADC=90°，根據切線的判定定理證明；

（2）通過，∠OCD=90°，可求得∠OCA，從而可求得∠AOC，再通過直徑求出半徑，代入弧長公式計算即可．

（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵，

∴∠OCA=∠OCD-∠ACD=90°-40°=50°，

∴∠OAC=∠OCA=50°，

∴∠AOC=180°-50°-50°=80°，

∵，

∴AO=3，

∴，

故答案為：．