Question

探究發現：
解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原來的方程的系數有什么聯系？
（1）x²-2x=0（2）x²+3x-4=0（3）x²-5x+6=0

方  程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
（1）
（2）
（3）

（1）請用文字語言概括你的發現．
（2）一般的，對于關于x的方程x²+px+q=0的兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=______，x₁•x₂______．
（3）運用以上發現，解決下面的問題：
①已知一元二次方程x²-2x-7=0的兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂的值為______
A．-2     B．2     C．-7     D．7
②已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩根，試求（1+x₁）（1+x₂）和x₁²+x₂²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出三個方程的解，把已知的表格補充完整，根據表格中的數字得到一元二次方程的兩個根之和為一次項系數與二次項系數商的相反數，兩根之積為常數項與一次項系數的商；
（2）找出方程中a，b及c的值，根據發現的規律，即可填寫出一般性的結論；
（3）①找出方程的a，b及c的值，代入結論中計算即可得到x₁+x₂的值；
②找出方程的a，b及c的值，求出x₁+x₂與x₁x₂的值，然后將所求的第一個式子利用多項式乘以多項式的法則計算后，重新結合，將得出的x₁+x₂與x₁x₂的值代入可求出值，將第二個式子恒等配方后，把x₁+x₂與x₁x₂的值代入可求出值．
解答：

方  程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
（1）		2	2
（2）	1	-4	-3	-4
（3）	2	3	5	6

解：（1）一元二次方程的兩個根之和為一次項系數與二次項系數商的相反數，兩根之積為常數項與一次項系數的商；
（2）關于x的方程x²+px+q=0的兩根為x₁、x₂，
∵a=1，b=p，c=q，
則x₁+x₂=-=-p，x₁•x₂==q；
（3）①一元二次方程x²-2x-7=0的兩個根為x₁，x₂，
∵a=1，b=-2，
∴x₁+x₂=-=2；
②x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩根，
∵a=1，b=-1，c=-3，
∴x₁+x₂=-=1，x₁x₂==-3，
則（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1+1-3=-1；x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+6=7．
故答案為：（2）-p；q；（3）①B
點評：此題考查了根與系數的關系，是一道結論探究型題，要求學生由特殊到一般，總結出一般性的結論ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac≥0，即方程有解時，設此時方程的兩個根為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-，x₁•x₂=．