Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于P，連接MP．已知動點運動了x秒．

（1）P點的坐標為多少；（用含x的代數式表示）

（2）試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；

（3）請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發現了幾種情況？寫出你的研究成果．

Answer 1

【答案】（1）（6﹣x， x）；（2）S的最大值為6，此時x=3；（3）

x=2，或x=，或x=

【解析】試題分析：（1）P點的橫坐標與N點的橫坐標相同，求出CN的長即可得出P點的橫坐標，然后通過求直線AC的函數解析式來得出P點的縱坐標，由此可求出P點的坐標；

（2）可通過求△MPA的面積和x的函數關系式來得出△MPA的面積最大值及對應的x的值．△MPA中，MA=OA-OM，而MA邊上的高就是P點的縱坐標，由此可根據三角形的面積計算公式求出S與x的函數關系式，進而根據函數的性質得出S的最大值和對應的x的值；

（3）可分三種情況進行討論：①MP=AP時，延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥OA，那么此時有AQ=BN=MA，由此可求出x的值；②當MP=AM時，可根據MP、AM的不同表達式得出一個關于x的方程即可求出x的值；③當PA=PM時，可在直角三角形PMQ中，根據勾股定理求出x的值．綜上所述可得出符合條件的x的值．

試題解析：（1）由題意可知C（0，8），又A（6，0），

所以直線AC解析式為：y=﹣x+8，

因為P點的橫坐標與N點的橫坐標相同為6﹣x，代入直線AC中得y=，

所以P點坐標為（6﹣x， x）；

（2）設△MPA的面積為S，在△MPA中，MA=6﹣x，MA邊上的高為x，

其中，0≤x＜6，

∴S=（6﹣x）×x=（﹣x2+6x）=﹣（x﹣3）2+6，

∴S的最大值為6，此時x=3；

（3）延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥OA，

①若MP=PA，

∵PQ⊥MA，

∴MQ=QA=x，

∴3x=6，

∴x=2；

②若MP=MA，則MQ=6﹣2x，PQ=x，PM=MA=6﹣x，

在Rt△PMQ中，

∵PM2=MQ2+PQ2，

∴（6﹣x）2=（6﹣2x）2+（x）2，

∴x=；

③若PA=AM，

∵PA=x，AM=6﹣x，

∴x=6﹣x，

∴x=，

綜上所述，x=2，或x=，或x=．