【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．
（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．
【答案】
【解析】解：（1）依題意得：
，
解之得：
，
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3
∵對稱軸為x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，
得
，
解之得：
，
∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；
（2）設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直線y=x+3得，y=2，
∴M（﹣1，2），
即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（﹣1，2）；
（3）設P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=
，t2=
；
綜上所述P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，
） 或（﹣1，）．
小學同步三練核心密卷系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，現在有一足夠大的直角三角板，它的直角頂點D是BC上一點，另兩條直角邊分別交AB、AC于點E、F．
（1）如圖1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求證：四邊形AEDF是矩形；
（2）在（1）條件下，若點D在∠BAC的 角平分線上，試判斷此時四邊形AEDF的形狀，并說明理由；
（3）若點D在∠BAC的角平分線上，將直角三角板繞點D旋轉一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F（如圖2），試證明AE+AF=
AD．
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