Question

首先，我們看兩個問題的解答：
問題1：已知x＞0，求x+

3

x

的最小值．
問題2：已知t＞2，求

t2-5t+9

t-2

的最小值．
問題1解答：對于x＞0，我們有：x+

3

x

=(

x

-

3

x

)2+2

3

≥2

3

．當

x

=

3

x

，即x=

3

時，上述不等式取等號，所以x+

3

x

的最小值2

3

．
問題2解答：令x=t-2，則t=x+2，于是

t2-5t+9

t-2

=

(x+2)2-5(x+2)+9

x

=

x2-x+3

x

=x+

3

x

-1．
由問題1的解答知，x+

3

x

的最小值2

3

，所以

t2-5t+9

t-2

的最小值是2

3

-1．
弄清上述問題及解答方法之后，解答下述問題：
在直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k＞0，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）用k和b表示出三角形的直角邊的長，從而表示出面積，和△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3列成方程，用b表示k．
（2）設x=b-2，則b=x+2，根據題干中第二問所給的解答過程得到提示，配方后求得x成立時的最小值．

解答：解：（1）當x=0時，y=b；當y=0時，x=-

b

k

．
所以|OA|=

b

k

，|OB|=b．
∴S_△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

b2

2k

．
∴

b2

2k

=

b

k

+b+3，
∴

b2-2b

2k

=b+3，k=

b2-2b

2b+6

．

（2）S_△OAB=

b2

2k

=

b2(2b+6)

2(b2-2b)

=

b2+3b

b-2

．
設x=b-2，則b=x+2．
S_△OAB=

(x+2)2+3(x+2)

x

=

x2+7x+10

x

=x+

10

x

+7
=(

x

-

10 x

)2+7+2

10

≥7+2

10

．
上述不等式等號在x=

10

時成立．
故△OAB面積最小值是7+2

10

．

點評：本題考查一次函數的綜合運用，以及活學活用的能力，和配方法求最值的情況．