Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6，CD=

104

，點E在AB上，BE=4．
（1）線段AB=

10

；
（2）試判斷△CDE的形狀，并說明理由；
（3）現有一動點P在線段EA上從點E開始以每秒1個單位長度的速度向終點A移動，設移動時間為t秒（t＞0）．問是否存在t的值使得△CDP為直角三角形？若存在直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF⊥BC于點F，利用勾股定理求出DF的長，進而得出AB的長；
（2）利用勾股定理分別得出CE，DE的長，進而利用勾股定理逆定理得出△CDE的形狀；
（3）分別根據∠DPC=90°，∠PDC=90°時，利用勾股定理以及相似三角形的判定與性質求出即可．

解答：解：（1）過點D作DF⊥BC于點F，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6，
∴AD=BF=4，
∴FC=2，
∵CD=

104

，
∴DF=

( 104 )2-22

=10，
∴AB=10，
故答案為：10；

（2）△CDE的形狀是等腰直角三角形，
理由如下：
∵在△BEC中∠B=90°
∴CE=

BE2+BC2

=

42+62

=

52

；
∵在△AED中，∠A=90°，AD=4   AE=AB-BE=6
∴DE=

AD2+AE2

=

42+62

=

52

；
∴CE=DE，
∵CE²+DE²=（

52

）²+（

52

）²=104，
CD2=(

104

)2=104，
∴CE²+DE²=CD²，
∴∠DEC=90°
∴△CDE的形狀是等腰直角三角形；

（3）如圖2，當t秒時，∠DPC=90°，
則∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴

AP

BC

=

AD

BP

，
∴

6-t

6

=

4

4+t

，
解得：t=2，
如圖3，當t秒時，∠PDC=90°，
∴PD²+CD²=PC²，
∴AD²+AP²+（

104

）²=BP²+BC²，
∴4²+（6-t）²+=（4+t）²+6²
解得：t=5.2，
綜上所述：當t=2或t=5.2時，△CDP為直角三角形．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質與勾股定理以及逆定理等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．