Question

已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點、,垂足為.
(1)如圖1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長；
(2)如圖2,動點、分別從、兩點同時出發,沿和各邊勻速運動一周.即點自→→→停止,點自→→→停止.在運動過程中,已知點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒,當、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求的值.

Answer 1

(1)證明:①∵四邊形是矩形∴∥∴,
∵垂直平分,垂足為∴∴≌∴∴四邊形為平行四邊形
又∵∴四邊形為菱形.

②設菱形的邊長,則在中,
由勾股定理得,解得∴
(2)顯然當點在上時,點在上,此時、、、四點不可能構成平行四邊
形;同理點在上時,點在或上,也不能構成平行四邊形.因此只有當點在
上、點在上時,才能構成平行四邊形.  ∴以、、、四點為頂點的四邊
形是平行四邊形時,∵點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間
為秒
∴,∴,解得
∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,秒.

（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據勾股定理即可求得AF的長；
（2）分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可.