Question

黃金分割比是生活中比較多見的一種長度比值，它能給人許多美感和科學性，我們初中階段學過的許多幾何圖形也有著類似的邊長比例關系．例如我們熟悉的頂角是36°的等腰三角形，其底與腰之比就為黃金分割比，底角平分線與腰的交點為黃金分割點．
（1）如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分線CD交腰AB于點D，請你證明點D是腰AB的黃金分割點；
（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，若，則請你求出∠A的度數；
（3）如圖3，如果在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的對邊分別為a，b，c．若點D是AB的黃金分割點，那么該直角三角形的三邊a，b，c之間是什么數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形內角和等于180°，求出∠ABC=∠ACB=72°，再根據CD是∠ACB的角平分線，求出∠ACD=∠BCD=36°，所以△BCD和△ABC是相似的兩個等腰三角形，并且AD=BC，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式整理即可證明；
（2）在BC邊上截取BD=AB，連接AD，再根據“AB=AC，”分別求出與的值都是，所以△ACD∽△ACB，根據相似三角形對應角相等和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，利用三角形內角和定理列式即可求出∠A的度數；
（3）根據相似三角形對應邊成比例分別求出AD、BD的長，再根據AB=AD+BD代入整理即可得到a、b、c之間的關系．
解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又CD是∠ACB的角平分線，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠DCA，∠BDC=72°，
∴AD=CD=BC，
在△BCD和△BAC中，
∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴BC²=AB•BD又BC=AD，（1分）
∴AD²=AB•BD，
∴D是AB的黃金分割點；

（2）解：在底邊BC上截取BD=AB，連接AD，
∵，AB=AC，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴設∠CAB=∠B=x，
∴∠BAD=∠BDA=2x，
∴x+2x+x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠BAC=108°；

（3）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD為AB上的高，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB，
′∴
∴，，（1分）
′∵點D是AB的黃金分割點，
∴AD²=BD•AB，（1分）
∴，
該直角三角形的三邊a，b，c之間應滿足b²=ac．

點評：本題綜合性較強，主要利用相似三角形對應邊成比例、對應角相等，三角形的外角性質，三角形的內角和定理，熟練掌握各定理和性質并靈活運用是解題的關鍵．