Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；

（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．

Answer 1

【答案】（1）t=1或時，△BPQ與△ABC相似；（2）t=；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）分兩種情況討論：①當△BPQ∽△BAC時， ，當△BPQ∽△BCA時， ，再根據BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可；

（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根據△ACQ∽△CMP，得出，代入計算即可；

（3）作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8-CM=8-4t代入求出DF，過BC的中點R作直線平行于AC，得出RC=DF，D在過R的中位線上，從而證出PQ的中點在△ABC的一條中位線上．

試題解析：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，

∴AB==10cm，

①當△BPQ∽△BAC時，

∵，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，

∴，

∴t=1；

②當△BPQ∽△BCA時，

∵，

∴，

∴t=，

∴t=1或時，△BPQ與△ABC相似；

（2）如圖所示，過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8-4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，

∴△ACQ∽△CMP，

∴，

∴，

解得：t=；

（3）如圖，作PM⊥BC于點M，PQ的中點設為D點，再作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，

∵∠ACB=90°，

∴DF為梯形PECQ的中位線，

∴DF=，

∵QC=4t，PE=8-BM=8-4t，

∴DF==4，

∵BC=8，過BC的中點R作直線平行于AC，

∴RC=DF=4成立，

∴D在過R的中位線上，

∴PQ的中點在△ABC的一條中位線上．