Question

如圖，將一張矩形大鐵皮切割（切痕如虛線）成九塊，其中有兩塊是邊長都為a厘米的大正方形，兩塊是邊長都為b厘米的小正方形，且a＞b．
（1）用含a、b的代數式表示切痕的總長為

6a+6b

厘米；
（2）若最中間的小矩形的面積為22厘米²，四個正方形的面積和為200厘米²，試求a+b的值；
（3）現要從切塊中選擇6塊，恰好焊接成一個長方體盒子，共有哪幾種方案可供選擇？按哪種方案焊接的長方體盒子的體積最大？試說明理由．（接痕的大小和鐵皮的厚度忽略不計）

Answer 1

分析：（1）求得各條切痕的和即可；
（2）最中間的小矩形的面積為22厘米²，即ab=22，四個正方形的面積和為200厘米²，即2a²+2b²=200，然后利用完全平方公式進行變形即可求得a+b的值；
（3）用2塊大正方形和4塊小矩形焊接或用2塊小正方形和4塊小矩形焊接，分別表示出各自的體積，然后進行比較即可．

解答：解：（1）6a+6b； 
（2）依題意得，
2a²+2b²=200，
則a²+b²=100，
即（a+b）²-2ab=100，
（a+b）²=100+2ab，
即：（a+b）²=144
∵a+b＞0，
∴a+b=12．
（3）有兩種方案選擇可供選擇：
方案一：用2塊大正方形和4塊小矩形焊接，其體積為V₁=a²b（cm³）； 
方案二：用2塊小正方形和4塊小矩形焊接，其體積為V₂=ab²（cm³）；
V₁-V₂=a²b-ab²=ab（a-b），
∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴V₁-V₂＞0，
即：V₁＞V₂
所以按方案二焊接的長方體盒子的體積最大．

點評：本題主要考查完全平方公式的運用，熟記公式正確對公式進行變形是解題的關鍵．