Question

如圖，是二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，
給出下列命題：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0
④ax²+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1；
⑤8a+c＞0．其中正確的命題是　             　．

Answer 1

①③④⑤

解析試題分析：由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)；然后結(jié)合對(duì)稱軸判斷b的符號(hào)；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸、拋物線與x的一個(gè)交點(diǎn)可以推知與x的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以推知x=1滿足該拋物線的解析式．
解：①根據(jù)拋物線是開口方向向上可以判定a＞0；
∵對(duì)稱軸x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0；
∵該拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0；
故本選項(xiàng)正確；
②由①知，b=2a；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵該拋物線與x軸交于點(diǎn)（1，0），
∴x=1滿足該拋物線方程，
∴a+b+c=0；
故本選項(xiàng)正確；
④設(shè)該拋物線與x軸交于點(diǎn)（x，0）），
則由對(duì)稱軸x=﹣1，得=﹣1，
解得，x=﹣3；
∴ax²+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1；
故本選項(xiàng)正確；
⑤根據(jù)圖示知，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y＞0，
∴16a﹣4b+c＞0，
由①知，b=2a，
∴8a+c＞0；
故本選項(xiàng)正確；
綜合①②③④⑤，上述正確的①③④⑤；
故答案是：①③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．