Question

當時，下列關系式中有且僅有一個正確.
A.
B.
C.
（1）正確的選項是      ；
（2）如圖1，△ABC中， ，請利用此圖證明（1）中的結論；
（3）兩塊分別含 和的直角三角板如圖2方式放置在同一平面內，，求.

Answer 1

（1）C；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：（1）先做（2），根據特殊元素法得出結論；（2）構造直角三角形，過A、C點作AD⊥BC交BC的延長線于點D，CE⊥AB于E，根據三角函數知識，可用α表示出AB的長度，再表示出AE和BE的長度，AB=AE+BE，分別讓帶有α兩式相等即可；（3）要求三角形的面積，必須找到三角形的一邊和這條邊上的高；過點A作AG⊥CD交CD的延長線于G點．根據題意可知CD和AD的長度，和∠ADG的度數，根據上述得出的結論，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根據三角函數關系式即可得出AG的長度，代入S△ADC的面積公式即可．
試題解析：（1）C．
（2）如圖1，過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D．
∵∠B=30°，∠BAC=α，AC=1，∴∠ACD=α+30°．
∴在△ADC中，∠ADC=90°，AD=AC•sin∠ACD=sin（α+30°）．
∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，∴AB=2AD=2sin（α+30°）.
過點C作CE⊥AB于E．
∴在△CEA中，∠AEC=90°，CE=sinα，AE=cosα．
在△BEC中，∠BEC=90°，．
∴AB="AE+BE=cosα+" ．
∴．

（3）由（2）證明的等式易得．
如圖2，過點A作AG⊥CD交CD的延長線于點G．
∵△ABD和△BCD是兩個含45°和30°的直角三角形，，∴∠ADG=75°，AD=8，CD＝．
∵．
∴在△ADG中，∠AGD=90°，AG＝AD•sin∠ADG＝8×sin75°＝．
∴．