Question

我們知道：兩個連續奇數的平均差一定是8的倍數，利用因式分解可以證明：（2n+1）²-（2n+1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n；類似的，我們可以猜想兩個連續偶數的平方差有什么規律？請直接寫出你的結論，并利用上述結論，并利用上述方法證明：25⁷-5¹²能被120整除．

Answer 1

分析：根據題意列出算式，再把兩個連續偶數的平方差進行因式分解，即可得出答案．

解答：解：∵（2n）²-（2n+2）²=（2n+2n+2）（2n-2n-2）=-8n-4=4（-2n+1），
∴兩個連續偶數的平均差一定是4的倍數，
∵25⁷-5¹²=5¹⁴-5¹²=5¹²（5²-1）=24×5¹²=120×5¹¹，
∴25⁷-5¹²能被120整除．

點評：此題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是把要求的式子進行因式分解，用到的知識點是平方差公式分解因式．