Question

如圖，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點E，與AD交于點F（E，F不與頂點重合），設AB=a,AD=b,BE=x．

(Ⅰ)求證：AF=EC；

(Ⅱ)用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，再將紙片ABEF沿AB對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長線上，拼接后，下方的梯形記作EE′B′C.

   （1）求出直線EE′分別經過原矩形的頂點A和頂點D時，所對應的 xb的值；

   （2）在直線EE′經過原矩形的一個頂點的情形下，連接BE′，直線BE′與EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，請你說明當a與b滿足什么關系時，它們垂直？

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵AB=a，AD=b，BE=x ，S_梯形ABEF= S_梯形CDFE．

∴a(x+AF)=a(EC+b-AF)，

∴2AF=EC+(b-x)．

又∵EC＝b-x，

∴2AF=2EC，即AF=EC；

 (Ⅱ)（1）當直線EE′經過原矩形的頂點D時，如圖（一），

∵EC∥E′B′，

∴=.

由EC＝b-x，E′B′=EB=x， DB′=DC+CB′=2a，

得，

∴xb= _；

當直線E′E經過原矩形的頂點A時，如圖（二），

在梯形AE′B′D中，

∵EC∥E′B′,點C是DB′的中點，

∴CE=(AD+ E′B′)，

即b-x＝（b＋x），

∴xb=．

(2) 如圖（一）， 當直線EE′ 經過原矩形的頂點D時，BE′∥EF．

證明：連接BF．

∵FD∥BE, FD=BE，

∴四邊形FBED是平行四邊形，

∴FB∥DE， FB=DE,

又∵EC∥E′B′， 點C是DB′的中點，

∴DE=EE′，

∴FB∥EE′, FB= EE′，

∴四邊形BE′EF是平行四邊形

∴BE′∥EF．

如圖（二）， 當直線EE′ 經過原矩形的頂點A時，顯然BE′與EF不平行，設直線EF與BE′交于點G.過點E′作E′M⊥BC于M， 則E′M=a.．

∵xb=，

∴EM=BC=b．

若BE′與EF垂直，則有∠GBE+∠BEG=90°，

又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′， ∠MEE′+∠ME′E=90°，

∴∠GBE=∠ME′E.

在Rt△BME′中，tan∠E′BM= tan∠GBE==．

在Rt△EME′中，tan∠ME′E ==，

∴＝．

又∵a＞0，b＞0，

，