Question

（2012•龍巖質檢）觀察、猜想、探究
已知矩形ABCD中，直線l垂直AC于點C，點E是BC上的動點（不與點C重合），過點E作EF⊥AE交直線l于點F．
（1）如圖①，當AB=BC，E為BC中點時，猜想線段AE與FE有何數量關系，并證明你的猜想；
（2）如圖②，已知AB=3，AD=4．
①當點E與點B重合時，求AE：EF的值；
②探究：當點E在線段BC上運動時，AE：EF的值是否發生改變？若不變，請求出該值并給予證明；若發生改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當AB=BC，BE=EC，取AB中點N，根據已知得出AN=EC=NB=BE，進而得出∠ANE=∠ECF，∠1=∠2，即可得出△ANE≌△ECF；
（2）①當點E與點B重合時，AE與AB重合，EF與BC重合，得出AE：EF=AB：BC即可得出答案；
②首先過點E作EH⊥BC交AC于H，利用相似三角形的判定得出△AEH∽△FEC，進而求出即可．

解答：（1）證明：如圖（1）當AB=BC，BE=EC，取AB中點N，連接NE，
則AN=EC=NB=BE，
∴∠BNE=∠BEN=45°，∠ANE=135°，
∵AB=BC，∴∠ACB=45°，
∵CF⊥AC，∴∠ACF=90°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=135°，
即∠ANE=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠AEB=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
在△ANE和△ECF中，

∠1=∠2 AN=EC ∠ANE=∠ECF

，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）解：
①當點E與點B重合時，AE與AB重合，EF與BC重合，
AE：EF=AB：BC=3：4；

②比值不變AE：EF=3：4，
證明：如圖（2），過點E作EH⊥BC交AC于H，
則∠1+∠3=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠AHE=∠4+90°，∠ECF=∠5+90°，
∴∠AHE=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴

AE

EF

=

EH

EC

，
又∵EH⊥BC，AB⊥BC，
所以

EH

EC

=

AB

BC

=

3

4

，
∴AE：EF=3：4．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質等知識，根據已知得出△AEH∽△FEC是解題關鍵．