Question

【題目】如圖1，一次函數y=﹣x+b與反比例函數y= （k≠0）的圖象交于點A（1，3），B（m，1），與x軸交于點D，直線OA與反比例函數y= （k≠0）的圖象的另一支交于點C，過點B作直線l垂直于x軸，點E是點D關于直線l的對稱點．

（1）k=；
（2）判斷點B，E，C是否在同一條直線上，并說明理由；
（3）如圖2，已知點F在x軸正半軸上，OF= ，點P是反比例函數y= （k≠0）的圖象位于第一象限部分上的點（點P在點A的上方），∠ABP=∠EBF，則點P的坐標為（ ， ）．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）解：點B、E、C在同一條直線上．理由如下：

∵直線OA與反比例函數y= （k≠0）的圖象的另一支交于點C，

∴點A與點C關于原點對稱，

∴C（﹣1，﹣3），

∵B（m，1）在反比例函數y= 的圖象上，

∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1），

把A（1，3）代入y=﹣x+b得﹣1+b=3，解得b=4，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+4，

當y=0時，﹣x+4=0，解得x=4，則D（4，0），

∵點E與點D關于直線x=3對稱，

∴E（2，0），

設直線BC的解析式為y=px+q，

把B（3，1），C（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣2，

當x=2時，y=x﹣2=0，

∴點E在直線BC上，

即點B、E、C在同一條直線上；

（3）,
【解析】解：（1）∵A（1，3）在反比例函數y= 的圖象上，

∴k=1×3=3；（3）直線AB交y軸于M，直線BP交y軸于N，如圖2，

當x=0時，y=﹣x+4=4，則M（0，4），

而B（3，1），E（2，0），F（ ，0），

∴BM= =3 ，BE= = ，EF=2﹣ = ，

∵OM=OD=4，

∴△OMD為等腰直角三角形，

∴∠OMD=∠ODM=45°，

∵點E與點D關于直線x=3對稱，

∴∠BED=∠BDE=45°，

∴∠BMN=∠BEF=135°，

∵∠ABP=∠EBF，

∴△BMN∽△BEF，

∴ = ，即 = ，解得MN= ，

∴N（0， ），

設直線BN的解析式為y=ax+n，

把B（3，1），N（0， ）代入得 ，解得 ，

∴直線BN的解析式為y=﹣ x+ ，

解方程組 得 或 ，

∴P點坐標為（ ， ）．

所以答案是3， ， ．