Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸上，以C為圓心，4cm為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于D、E，且

AB

=

BD

．點(diǎn)P是⊙C上一動點(diǎn)（P點(diǎn)與A、B點(diǎn)不重合）．連接BP、AP．
（1）求∠BPA的度數(shù)；
（2）若過點(diǎn)P的⊙C的切線交x軸于點(diǎn)G，是否存在點(diǎn)P，使△APB與以A、G、P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P可以在優(yōu)弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一種情況，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)即可求得另一種情況．根據(jù)垂徑定理得到弧BE=弧AE，則弧BD=弧BE的2倍，再根據(jù)半圓的度數(shù)是180°，從而求得弧BE的度數(shù)是60°，則劣弧AB的度數(shù)是120°，進(jìn)而求得∠BPA的度數(shù)；
（2）分兩種情況，即點(diǎn)P在y軸的左側(cè)和右側(cè)，若相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，分析得到兩個三角形必是直角三角形，再結(jié)合（1）中求得的角的度數(shù)，運(yùn)用解直角三角形的知識求解．

解答：解：（1）根據(jù)垂徑定理得到弧BE=弧AE．
又

AB

=

BD

，則弧BD=弧BE的2倍．
所以劣弧AB的度數(shù)是120°．
∴∠BPA=60°或∠BPA=120°；

（2）設(shè)存在點(diǎn)P，使△APB與以點(diǎn)A、G、P為頂點(diǎn)的三角形相似．
①當(dāng)P在弧EAD上時，（圖1）GP切OC于點(diǎn)P，∴∠GPA=∠PBA．
又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA．
欲使△APB與以點(diǎn)A、G、P為頂點(diǎn)的三角形相似，須∠GAP=∠PAB=90°，
∴BP為⊙C的直徑．
在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，
∴PA=4，AB=4

3

，OA=2

3

，P（2

3

，4）
②當(dāng)P在弧EBD上時，（圖2）在△PAB和△GAP中，
∵∠PBA是△GBP的外角，
∴∠PBA＞∠PGB，
又∵∠PAB=∠GAP，
欲使△APB與以點(diǎn)A、G、P為頂點(diǎn)的三角形相似，須∠APB=∠PGB，
∴GP切⊙C于點(diǎn)P，
∴∠GPB=∠PAG．
由三角形內(nèi)角和定理知：∠ABP=∠GBP，
∴∠ABP=∠GBP=90°．
在Rt△PAB，∠BPA=60°，PA=8，
∴PB=4，AB=4

3

，OB=2

3

，P（-2

3

，4），
∴存在點(diǎn)P₁（2

3

，4）、P₂（-2

3

，4）使△APB與以點(diǎn)A、G、P為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評：綜合運(yùn)用了垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的推論以及解直角三角形的知識．