Question

如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）P點從A點出發沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點移動，移動時間為t秒.
①當t為何值時，DP⊥AC？
②設，寫出y與t之間的函數解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①5；②，8-9.

試題分析：（1）如圖，由矩形的性質求出∠1=∠2，∠3=∠4即可證明△APQ∽△CDQ.
（2）①當DP⊥AC時，由△ADC∽△PAD列比例式可求解.
②根據相似，求出兩個三角形的高（用t的代數式表示），即可求出y與t之間的函數解析式；列表求出函數值得出P點運動到第8秒到第9秒之間時，y取得最小值.
試題解析：（1）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD. ∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△APQ∽△CDQ.

（2）①當DP⊥AC時，∴∠4+∠2=90 ^o.
又∵∠5+∠2=90 ^o，∴∠4=∠5.
又∵∠ADC=∠DAP=90 ^o，∴△ADC∽△PAD.∴，即.∴PA=5.
∵P點從A點出發沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點移動，∴t=5.
②設△APQ的邊AP上的高為h，則△DCQ的邊上的高為.
∵由（1）△APQ∽△CDQ，∴.∴.∴.
∴，.
∴.
∴y與t之間的函數解析式為.
給出t的部分取值，計算出y的對應值列表如下：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	100	95.48	91.88	88.91	86.67	85	83.85	83.15	82.86	82.93	83.33
t	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
y	84.03	85	86.21	87.65	89.29	93.11	95.26	97.56	100

 
從表中可看出：
當時；y隨t的值的增大而減小；當時；y隨t的值的增大而增大.
∴P點運動到第8秒到第9秒之間時，y取得最小值.