Question

如圖所示，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點E，與AD交于點F（E，F不與頂點重合），設AB=a，AD=b，BE=x。
（1）求證：AF=EC；
（2）用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，再將紙片ABEF沿AB對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長線上，拼接后，下方的梯形記作EE′B′C。
①求出直線EE′分別經過原矩形的頂點A和頂點D時，所對應的 x︰b的值；
②在直線EE′經過原矩形的一個頂點的情形下，連接BE′，直線BE′與EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，請你說明當a與b滿足什么關系時，它們垂直？

Answer 1

解：（1）∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE， ∴a（x+AF）=a（EC+b-AF）， ∴2AF=EC+（b-x）， 又∵EC=b-x， ∴2AF=2EC， 即AF=EC；
（2）①當直線EE′經過原矩形的頂點D時，如圖（一）， ∵EC∥E′B′，　 ∴， 由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得， ∴x︰b=，
當直線E′E經過原矩形的頂點A時，如圖（二）， 在梯形AE′B′D中， ∵EC∥E′B′，點C是DB′的中點， ∴CE=（AD+E′B′）， 即b-x=（b+x）， ∴x︰b=；
②如圖（三）， 當直線EE′ 經過原矩形的頂點D時，BE′∥EF， 證明：連接BF， ∵FD∥BE，FD=BE， ∴四邊形FBED是平行四邊形， ∴FB∥DE，FB=DE， 又∵EC∥E′B′，點C是DB′的中點， ∴DE=EE′， ∴FB∥EE′， FB=EE′， ∴四邊形BE′EF是平行四邊形 ∴BE′∥EF，
如圖（四）， 當直線EE′ 經過原矩形的頂點A時，顯然BE′與EF不平行， 設直線EF與BE′交于點G，過點E′作E′M⊥BC于M，則E′M=a， ∵x︰b=， ∴EM=BC=b， 若BE′與EF垂直，則有∠GBE+∠BEG=90°， 又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°， ∴∠GBE=∠ME′E， 在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=， 在Rt△EME′中，tan∠ME′E =， ∴， 又∵a＞0，b＞0，， ∴當時，BE′與EF垂直。