Question

a、b為實數，關于x的方程|x²+ax+b|=2有三個不等的實數根．
（1）求證：a²-4b-8=0；
（2）若該方程的三個不等實根，恰為一個三角形三內角的度數，求證：該三角形必有一個內角60°；
（3）若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求a和b的值．

Answer 1

證明：（1）由原方程得：x²+ax+b-2=0①，x²+ax+b+2=0②，
兩方程的判別式分別為：△₁=a²-4b+8，△₂=a²-4b-8，
∵原方程有三個根，∴方程①，②中有一個方程有兩個不等實數根，另一個方程有兩個相等實數根，
即△₁，△₂中必有一個大于0，一個等于0，比較△₁，△₂，顯然△₁＞△₂，
∴△₁＞0，△₂=0，
即a²-4b-8=0；

（2）設方程①的兩根為x₁，x₂，方程②的根為x₃，則x₁+x₂+x₃=180°，
∵x₁+x₂=-a，x₃=-

a

2

，
∴x₁+x₂+x₃=-

3

2

a=180°，
∴a=-120°，
∴x₃=-

a

2

=60°．
故該三角形中有一個內角為60°；

（3）方程①中的兩根x₁，x₂必有一個大于方程②中的x₃，而另一個小于x₃，
∴可以設x₁＞x₃＞x₂，則由已知得：x₁²-x₂²=x₃²，即（x₁+x₂）（x₁-x₂）=x₃²．
∴-a•

a2-4(b-2)

=(-

a

2

)2
整理得：a²+4a

a2-4b+8

=0
由（1）有：a²-4b=8代入上式得：a²+16a=0，
∴a₁=0，a₂=-16．
當a=0時，x₃=0，這與題目中方程的根是直角三角形的邊矛盾，
∴a=-16．
把a=-16代入a²-4b-8=0中，得b=62．
故a=-16，b=62．