Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．
已知在相同時間內，若BQ="x" cm()，則AP="2x" cm，CM="3x" cm，DN="x2" cm．

（1）當x為何值時，以P、N兩點重合？
（2）問Q、M兩點能重合嗎？若Q、M兩點能重合，則求出相應的x的值；若Q、M兩點不能重合，請說明理由。
（3）當x 為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形。

Answer 1

（1）時點P與點N重合
（2）點Q與點M不能重合，理由略
（3）當x=2或x=-3+時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形

解：（1）當點P與點N重合時，
由，得（舍去）
所以時點P與點N重合              2分
（2） 當點Q與點M重合時，
由，得----------3分
此時，不符合題意．
故點Q與點M不能重合．---------4分
（3）由（1）知，點Q 只能在點M的左側，
① 當點P在點N的左側時，
由，
解得．
當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．       6分
② 當點P在點N的右側時，
由， 
解得（舍去）．
當x=-3+時四邊形NQMP是平行四邊形．      8分
綜上：當x=2或x=-3+時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．