Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．

（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=4﹣ ．
①求KD的長度；
②如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設PD=m，當S△PMN= 時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①∵在矩形ABCD中，AD∥BC

∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO

∵點O是BD的中點

∴DO=BO

∴△DOK≌△BOG（AAS）

②∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC

又∵AF平分∠BAD

∴∠BAF=∠BFA=45°

∴AB=BF

∵OK∥AF，AK∥FG

∴四邊形AFGK是平行四邊形

∴AK=FG

∵BG=BF+FG

∴BG=AB+AK

（2）

解：①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形

∴AK=FG，AF=KG

又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG

∴AF=KG=KD=BG

設AB=a，則AF=KG=KD=BG= a

∴AK=4﹣ ﹣ a，FG=BG﹣BF= a﹣a

∴4﹣ ﹣ a= a﹣a

解得a=

∴KD= a=2

②過點G作GI⊥KD于點I

由（2）①可知KD=AF=2

∴GI=AB=

∴S△DKG= ×2× =

∵PD=m

∴PK=2﹣m

∵PM∥DG，PN∥KG

∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN

∴ ，即S△DPN=（ ）2

同理S△PKM=（ ）2

∵S△PMN=

∴S平行四邊形PMGN=2S△PMN=2×

又∵S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM

∴2× = ﹣（ ）2 ﹣（ ）2 ，即m2﹣2m+1=0

解得m1=m2=1

∴當S△PMN= 時，m的值為1

【解析】（1）①先根據AAS判定△DOK≌△BOG，②再根據等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質，得出結論BG=AB+AK；（2）①先根據等量代換得出AF=KG=KD=BG，再設AB=a，根據AK=FG列出關于a的方程，求得a的值，進而計算KD的長；②先過點G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根據四邊形PMGN是平行四邊形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表達式，最后根據等量關系S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM ， 列出關于m的方程，求得m的值即可．