Question

（2013•武漢模擬）如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O為圓心OA長為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動點，射線AC交⊙O于點E，BC=a，AC=b．
（1）求證：AE=b+

3

a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是關于x的方程：x²+

3

ax=b²+

3

ab的一個根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先連接BE，由△OAB為等邊三角形，可得∠AOB=60°，又由圓周角定理，可求得∠E的度數，又由AB為⊙D的直徑，可求得CE的長，繼而求得AE=b+

3

a；
（2）首先過點C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） ²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；
（3）由x²+

3

ax=b²+

3

ab，可得（x-b）（x+b+

3

a）=0，則可求得x的值，繼而可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）連接BE，
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AEB=30°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∵BC=a，
∴BE=2a，CE=

3

a，
∵AC=b，
∴AE=b+

3

a；         

（2）過點C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，
∴a²+b²=1，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CH，
∴AC•BC=AB•CH，
∴（a+b） ²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，
∴a+b≤

2

，
故a+b的最大值為

2

，

（3）∵x²+

3

ax=b²+

3

ab，
∴x²-b²+

3

ax-

3

ab=0，
∴（x+b）（x-b）+

3

a（x-b）=0，
∴（x-b）（x+b+

3

a）=0，
∴x=b或x=-（b+

3

a），
當m=b時，m=b=AC＜AB=1，
∴0＜m＜1，
當m=-（b+

3

a）時，由（1）知AE=-m，
又∵AB＜AE≤2AO=2，
∴1＜-m≤2，
∴-2≤m＜-1，
∴m的取值范圍為0＜m＜1或-2≤m＜-1．

點評：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的性質、完全平方公式的應用以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．