Question

如圖，在平面坐標系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，動點P（a，b）在第一象限內，由點P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點E，點F，當點P（a，b）運動時，矩形PMON的面積為定值2．
（1）求∠OAB的度數；
（2）求證：△AOF∽△BEO；
（3）當點E，F都在線段AB上時，由三條線段AE，EF，BF組成一個三角形，記此三角形的外接圓面積為S₁，△OEF的面積為S₂．試探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，請求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+2，∴當x=0時，y=2，B（0，2），
當y=0時，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°
∴∠OAB=45°；

（2）∵四邊形OMPN是矩形，
∴PM∥ON，NP∥OM，
∴，，
∴BE=OM，AF=ON，
∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON．
∵矩形PMON的面積為2，
∴OM•ON=2
∴BE•AF=4．
∵OA=OB=2，
∴OA•OB=4，
∴BE•AF=OA•OB，
即．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∵四邊形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形．
∵E點的橫坐標為a，E（a，2-a），
∴AM=EM=2-a，
∴AE²=2（2-a）²=2a²-8a+8．
∵F的縱坐標為b，F（2-b，b）
∴BN=FN=2-b，
∴BF²=2（2-b）²=2b²-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則此三角形的外接圓的面積為
S₁=EF²=•2（a+b-2）²=（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPF=（PF+ON）•PM，S_△PEF=PF•PE，S_△OME=OM•EM，
∴S₂=S_梯形OMPF-S_△PEF-S_△OME，
=（PF+ON）•PM-PF•PE-OM•EM，
=[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]，
=（PF•EM+OM•PE），
=PE（EM+OM），
=（a+b-2）（2-a+a），
=a+b-2．
∴S₁+S₂=（a+b-2）²+a+b-2．
設m=a+b-2，則S₁+S₂=m²+m=（m+）²-，
∵面積不可能為負數，
∴當m＞-時，S₁+S₂隨m的增大而增大．
當m最小時，S₁+S₂最�。�
∵m=a+b-2=a+-2=（-）²+2-2，
∴當=，即a=b=時，m最小，最小值為2-2
∴S₁+S₂的最小值=（2-2）²+2-2，
=2（3-2）π+2-2．
分析：（1）當x=0或y=0時分別可以求出y的值和x的值就可以求出OA與OB的值，從而就可以得出結論；
（2）根據平行線的性質可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出結論；
（3）先根據E、F的坐標表示出相應的線段，根據勾股定理求出線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則可以表示此三角形的外接圓的面積S₁，再由梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以表示出S₂，就可以表示出和的解析式，再由如此函數的性質就可以求出最值．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理及勾股定理的逆定理的運用，梯形的面積公式的運用，圓的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用二次函數的頂點式的運用，在解答時運用二次函數的頂點式求最值是關鍵和難點．