Question

【題目】在平面直角坐標系中，A點的坐標為(0，4)，B點的坐標為(3，0)，C(a，b)為平面直角坐標系內一點，若∠ABC＝90°，且BA＝BC，求ab的值．

Answer 1

【答案】21或3．

【解析】

討論：當點C在x軸上方．作CD⊥x軸，OA=4，OB=3，由于∠ABC=90°，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBD，然后根據“AAS”可判斷△ABO≌△BCD，則BD=OA=4，CD=OB=3，于是C點坐標為（7，3），得到ab=21；當點C在x軸下方．如圖2，作CE⊥x軸，與（1）證明方法一樣可證得△ABO≌△BCE，得到BE=OA=4，CE=OB=3，則OE=4﹣3=1，所以C點坐標為（﹣1，﹣3），得到ab=3．

當點C在x軸上方．如圖1，作CD⊥x軸．

∵A點的坐標為（0，4），B的坐標為（3，0），∴OA=4，OB=3．

∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBD=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠CBD．

在△ABO和△BCD中，∵，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD=OA=4，CD=OB=3，∴C點坐標為（7，3），∴ab=7×3=21；

當點C在x軸下方．如圖2，作CE⊥x軸，

與（1）證明方法一樣可證得△ABO≌△BCE（AAS），∴BE=OA=4，CE=OB=3，∴OE=4﹣3=1，∴C點坐標為（﹣1，﹣3），∴ab=﹣1×（﹣3）=3．

故ab的值為21 或3．