Question

如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2．動點M、N分別從點D、B同時出發，沿射線DA、線段BA向點A的方向運動（點M可運動到DA的延長線上），當動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動．連接FM、FN，當F、N、M不在同一直線時，可得△FMN，過△FMN三邊的中點作△PWQ．設動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為x秒．試解答下列問題：
（1）說明△FMN∽△QWP；
（2）設0≤x≤4（即M從D到A運動的時間段）．試問x為何值時，△PWQ為直角三角形？當x在何范圍時，△PQW不為直角三角形？
（3）問當x為何值時，線段MN最短？求此時MN的值．

Answer 1

分析：（1）由平行線的性質可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；
（2）當△FMN是直角三角形時，△QWP也為直角三角形，當MF⊥FN時，證得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此時的值，當MG⊥FN時，點M與點A重合，點N與點G重合，此時x=AD=4；
（3）需要分類討論：）①當0≤x≤4，即M從D到A運動時，只有當x=4時，MN的值最小，等于2；
 ②當4＜x≤6時，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²=2（x-5）²+2，由二次函數的性質來求最值．

解答：解：（1）根據三角形中位線定理得 PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF．
同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故當△QWP是直角三角形時，△FMN也為直角三角形．
作FG⊥AB，則四邊形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，
①當MF⊥FN時，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=

4

3

；
②當MN⊥FN時，點M與點A重合，點N與點G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴當x=4或

4

3

時，△QWP為直角三角形，當0≤x＜

4

3

，

4

3

＜x＜4時，△QWP不為直角三角形．

（3）①當0≤x≤4，即M從D到A運動時，只有當x=4時，MN的值最小，等于2；
 ②當4＜x≤6時，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²
=2（x-5）²+2
當x=5時，MN²=2，故MN取得最小值

2

，
故當x=5時，線段MN最短，MN=

2

．

點評：本題為動點變化的題，主要利用了相似三角形的判定和性質，平行線的性質求解．