Question

【題目】實驗學校某班開展數學“綜合與實踐”測量活動．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為．王詩嬑觀測到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長為；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：

（1）若王詩嬑的身高為，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少？

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內．請直接回答這個猜想是否正確？

（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為，則高圓柱的高度為多少？

Answer 1

【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm

【解析】

（1）根據同一時刻，物長與影從成正比，構建方程即可解決問題．

（2）根據落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，結合橫截面分析可得；

（3）過點F作FG⊥CE于點G，設FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過點F作FH⊥AB于點H，再根據同一時刻身高與影長的比例，求出AH的長度，即可得到AB.

解：（1）設王詩嬑的影長為xcm，

由題意可得：，

解得：x=120，

經檢驗：x=120是分式方程的解，

王詩嬑的的影子長為120cm；

（2）正確，

因為高圓柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內；

（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，

過點F作FG⊥CE于點G，

由題意可得：BC=100，CF=100，

∵斜坡坡度，

∴，

∴設FG=4m，CG=3m，在△CFG中，

，

解得：m=20，

∴CG=60，FG=80，

∴BG=BC+CG=160，

過點F作FH⊥AB于點H，

∵同一時刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm，

FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，

可知四邊形HBGF為矩形，

∴，

∴AH==200，

∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，

故高圓柱的高度為280cm.