Question

（2007•麗水）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCO的邊OC落在x軸的正半軸上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO面積．將正方形ODEF沿x軸的正半軸平行移動(dòng)，設(shè)它與直角梯形ABCO的重疊部分面積為S．
（1）分析與計(jì)算：求正方形ODEF的邊長(zhǎng)；
（2）操作與求解：
①正方形ODEF平行移動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)操作、觀察，試判斷S（S＞0）的變化情況是______；
A、逐漸增大B、逐漸減少C、先增大后減少D、先減少后增大
②當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求S的值；
（3）探究與歸納：
設(shè)正方形ODEF的頂點(diǎn)O向右移動(dòng)的距離為x，求重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)梯形及正方形的面積公式和它們的面積相等，可求出正方形的邊長(zhǎng)；
（2）由圖形的移動(dòng)可知，從OF出發(fā)，重疊部分面積逐漸增大，當(dāng)OF和BC重合時(shí)面積最大，繼續(xù)移動(dòng)時(shí)，面積將減小；求重疊部分面積時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為S_梯形AMDG+S_矩形AGCB．
（3）依據(jù)題意將圖形平移，由于移動(dòng)的距離不同，重疊部分為三角形、五邊形和矩形，①利用三角形的面積公式列等式；②根據(jù)梯形面積公式列等式；③④利用分割法將五邊形化為三角形和梯形解答；⑤根據(jù)矩形面積公式解答．
解答：解：（1）∵S_ODEF=S_ABCO=（4+8）×6=36，（2分）
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，
∴x²=36，x=6或x=-6（舍去）．（2分）

（2）由圖形的移動(dòng)可知，從OF出發(fā)，重疊部分面積逐漸增大，
當(dāng)OF和BC重合時(shí)面積最大，繼續(xù)移動(dòng)時(shí)，面積將減小．
故選C．（2分）
過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC交x軸于G，所以AE=DG=EB-AB=6-4=2．當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，OD=OC-CD=8-6=2；
于是重疊部分的面積是S=S_梯形AMDG+S_矩形AGCB=（3+6）×2+6×4=33．（3分）

（3）①當(dāng)0≤x＜4時(shí)，重疊部分為三角形，如圖①．
可得△OMO′∽△OAN，
∴，MO′=．
∴S=×x•x=x²．（1分）

②當(dāng)4≤x＜6時(shí)，重疊部分為直角梯形，如圖②．
S=（x-4+x）×6×=6x-12．（1分）

③當(dāng)6≤x＜8時(shí)，重疊部分為五邊形，如圖③．
可得，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，6），故OA的解析式為：y=x，
∴MD=（x-6），AF=x-4．
S=×（x-4+x）×6-（x-6）（x-6）
=-x²+15x-39．（1分）

④當(dāng)8≤x＜10時(shí)，重疊部分為五邊形，如圖④．
S=SAFO'DM-SBFO′C=-x²+15x-39-（x-8）×6
=-x²+9x+9．（1分）

⑤當(dāng)10≤x≤14時(shí)，重疊部分為矩形，如圖⑤．S=[6-（x-8）]×6=-6x+84．（1分）

（用其它方法求解正確，相應(yīng)給分）．
點(diǎn)評(píng)：在新課程理念指導(dǎo)下，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用正方形與梯形，圍繞圖形的平移，把方程、特殊四邊形、相似三角形、一次函數(shù)、二次函數(shù)、圖形的面積等知識(shí)與操作探究融合為一體，既考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，又突出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程性，體現(xiàn)了一定的區(qū)分度．在操作探索過(guò)程中融入動(dòng)與靜、變與不變，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合等思想，解題時(shí)要學(xué)生切實(shí)把握幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并注重運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊過(guò)程，掌握在“動(dòng)”中求“靜”，在“靜”中求“動(dòng)”的一般規(guī)律，有效地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)．同時(shí)，題中第（3）小題的思維迥異，解題方法多樣，特別是重疊部分為五邊形時(shí)，至少有四種解法，使不同層次的學(xué)生都有不同的發(fā)揮空間，不同的人獲得不同的數(shù)學(xué)發(fā)展．本題將操作探究與綜合知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，作為壓軸題，較好地體現(xiàn)了接受與創(chuàng)新同途的新課程理念，突出了課改的導(dǎo)向．
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
（1）題求邊長(zhǎng)用直觀方法去判斷，沒(méi)有求解過(guò)程；
（2）對(duì)不規(guī)則圖形的面積求法，不能用分割或補(bǔ)差法求解；
（3）對(duì)數(shù)學(xué)思想方法（運(yùn)動(dòng)思想、分類(lèi)思想）缺乏，“動(dòng)”中求“靜”的思維方法不能掌握．在求解時(shí)不能很好地利用操作的過(guò)程去完成解答．