Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，點E在邊BC上，點F在BA的延長線上，BE=AF，CF∥AE，CF與邊AD相交于點G．
求證：
（1）FD=CG；
（2）CG2=FGFC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠FAD=∠B，

在△ADF與△BAE中， ，

∴△ADF≌△BAE，

∴FD=EA，

∵CF∥AE，AG∥CE，

∴EA=CG，

∴FD=CG

（2）解：∵在菱形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DCF=∠BFC，

∵CF∥AE，

∴∠BAE=∠BFC，

∴∠DCF=∠BAE，

∵△ADF≌△BAE，

∴∠BAE=∠FDA，

∴∠DCF=∠FDA，

又∵∠DFG=∠CFD，

∴△FDG∽△FCD，

∴ ，FD2=FGFC，

∵FD=CG，

∴CG2=FGFC

【解析】（1）根據菱形的性質得到∠FAD=∠B，根據全等三角形的性質得到FD=EA，于是得到結論；（2）根據菱形的性質得到∠DCF=∠BFC，根據平行線的性質得到∠BAE=∠BFC，根據全等三角形的性質得到∠BAE=∠FDA，等量代換得到∠DCF=∠FDA，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質和相似三角形的判定與性質，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．