Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，BC為⊙O直徑，延長AC至D，過D作⊙O切線，切點為E，且∠D＝90°，連接BE．DE＝12，

（1）若CD＝4，求⊙O的半徑；

（2）若AD+CD＝30，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）20；（2）18.

【解析】

(1) （2） 連接OE，作OH⊥AD于H，利用切線性質和垂徑定理、矩形的判定和性質、勾股定理即可解答；

（1）解：連接OE，作OH⊥AD于H，

∵DE是⊙O的切線，

∴OE⊥DE．

又∵∠D＝90°，

∴四邊形OHDE是矩形，

設⊙O的半徑為r，

在Rt△OCH中，

OC2＝CH2+OH2，

∴r2＝（r﹣4）2+144，

∴半徑r＝20．

（2）解：∵OH⊥AD，

∴AH＝CH．

又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．

∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，

∴在Rt△OCH中，CH＝ ＝＝9．

∴AC＝2CH＝18．