Question

【題目】如圖（1），菱形ABCD對角線AC、BD的交點O是四邊形EFGH對角線FH的中點，四個頂點A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE上．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖（2）若四邊形EFGH是矩形，當AC與FH重合時，已知 =2，且菱形ABCD的面積是20，求矩形EFGH的長與寬．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點O是菱形ABCD對角線AC、BD的交點，

∴OA=OC，OD=OB，

∵點O是線段FH的中點，

∴OF=OH．

在△AOF和△COH中，有 ，

∴△AOF≌△COH（SAS），

∴∠AFO=∠CHO，

∴AF∥CH．

同理可得：DH∥BF．

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（2）設矩形EFGH的長為a、寬為b，則AC= ．

∵ =2，

∴BD= AC= ，OB= BD= ，OA= AC= ．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB=90°．

∵四邊形EFGH是矩形，

∴∠AGH=90°，

∴∠AOB=∠AGH=90°，

又∵∠BAO=∠CAG，

∴△BAO∽△CAG，

∴ ，即 ，

解得：a=2b①．

∵S菱形ABCD= ACBD= =20，

∴a2+b2=80②．

聯立①②得： ，

解得： ，或 （舍去）．

∴矩形EFGH的長為8，寬為4

【解析】（1）根據菱形的性質可得出OA=OC，OD=OB，再由中點的性質可得出OF=OH，結合對頂角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△AOF≌△COH，從而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依據平行四邊形的判定定理即可證出結論；（2）設矩形EFGH的長為a、寬為b．根據勾股定理及邊之間的關系可找出AC= ，BD= ，利用菱形的性質、矩形的性質可得出∠AOB=∠AGH=90°，從而可證出△BAO∽△CAG，根據相似三角形的性質可得出 ，套入數據即可得出a=2b①，再根據菱形的面積公式得出a2+b2=80②，聯立①②解方程組即可得出結論．本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定及性質、菱形的性質、矩形的性質以及相似三角形的判定及性質，解題的關鍵：（1）找出AF∥CH、DH∥BF；（2）找出關于a、b的二元二次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程叫繁瑣，解決該題型題目時，根據相似三角形的性質找出對應邊的比例關系是關鍵．