Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，且AB=AC，過點A的直線交⊙O于D，交BC延長線于F，DE是BD的延長線，連接CD．
（1）求證：∠EDF=∠CDF；
（2）求證：AB²=AF•AD；
（3）若BD是⊙O的直徑，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的長．

Answer 1

（1）證明：根據切割線定理的推論可知：FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBA，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB（所對的弧相等）
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF；

（2）證明：由（1）已得出∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴AD：AB=AB：AF
∴AB²=AF•AD；

（3）解：∵∠EDC=120°，
∴∠EDF=∠CDF=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABD=30°
Rt△ABD中，AB=6cm，∠ABD=30°，
∴AD=AB•tan30°=2（cm），
由（2）知道：AB²=AF•AD，即6×6=AF×2
∴AF=6（cm）．
分析：（1）可根據切割線定理先得出關于FD，FA，FC，FB的比例關系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是對頂角，因此只要證得∠ABC=∠ADB相等即可，AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又對應同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本題的結論；
（2）關鍵是證△ABD，△ABF相似，已經有一個公共角，根據（1）中證明的過程我們不難得出∠ABC=∠CDF，得到兩三角形相似后根據相似三角形的對應邊對應比例即可得出所求的結果；
（3）可根據（2）的結果來求AF，關鍵是求AB，AD的值．如果∠EDC=120°，那么∠EDF=∠ADB=∠ACB=60°，我們得出了△ABC是個等邊三角形，這樣就求出了AB的長，下面求AD的值，直角三角形ABD中，∠ABD=30°，AB=6，因此根據三角函數可求出AD的長，然后根據（2）的結果便可求出AF的長．
點評：本題主要考查了切割線定理，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識點，通過切割線定理求出三角形相似從而得出角相等是解題的關鍵．