Question

如圖，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中點，連接DE、EF和DF．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝45°，試判斷△DEF的形狀，并說明理由；
（3）若∠A：∠DFE＝5：2，BC=4，求△DEF的面積．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由見試題解析；（3）1．

試題分析：（1）由直角三角形斜邊上直線的性質可得：EF=BC=DF；故△DEF為等腰三角形；
（2）由△BEF和△DFC為等腰三角形和∠A=45°，求出∠EFD的度數即可；
（3）設∠A=5，則∠DFE=2，用（2）類似的方法求出∠DFE=30°，作出△EDF邊DF上的高EG，求出EG的長即可．
試題解析：（1）證明：∵BD、CE是高，F是BC中點，∴EF=BC=DF，∴△DEF是等腰三角形．
（2）△DEF是等腰直角三角形；理由：∵∠A＝45°，∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°，∵EF=BC=DF，∴∠EBF=∠FEB，同理，∠DCF=∠FDC，∴∠FEB+∠FDC=135°，
∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°，∴∠DFE=180°-90°=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．
（3）作EG⊥DF于G，設∠A＝5，∠DFE＝2，∵EF=BF，DF=FC，∴∠FBE=∠BEF，∠FCD=∠FDC，
∴∠BFE+∠CFD=180°－2∠FBE+180°－2∠FCD=2(180°－∠FBE－∠FCD)=2∠A=，∵，∴∠DFE＝2，∵BC=4，∴DF=EF=2，∴EG=1，∴△DEF面積1．