Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABDC中，∠ABC的平分線交AD于點E，過點A作BE的垂線交BE于點F，交BC于點G，連接EG，CF.

(1)求證：四邊形ABGE是菱形；

(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）CF的長為

【解析】試題分析：（1）先證明四邊形ABGE是平行四邊形，再證AB=GB，根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得四邊形AEGE是菱形；（2）過點F作FM⊥BC于點M，先求出FM和CM的長度，再根據在Rt△FMC中，CF=求出即可；

試題解析：

證明：(1) BE平分

=

四邊形ABCD是平行四邊

AD∥BC且AD=BC

= ， = ，

AB=AE

AF⊥BE

= =90°

又 = ，BF=BF，

△ABF≌△GBF

AB=GB，AE=GB

又AD∥BC

四邊形ABGE是平行四邊形

又AB=GB

四邊形ABGE是菱形

(2) 過點F作FM⊥BC于點M，如圖所示：

,BG=AB=4,BC=AD=5

在Rt△BFG中，BF=cos∠GBF×BG=cos30°×4=

在Rt△BFM中,FM=BF=×=

BM=cos∠GBF×BF=cos30°×BF=

CM=BC－BM=5－3=2

Rt△FMC中，CF=