Question

辨析題：在△ABC中，已知AB＞AC，求證：AB=AC．
證明：如圖，作∠BAC的平分線與邊BC的中垂線交于點O，
則OB=OC，再作OE垂直AB于E，OF垂直AC于F，則OE=OF，
∴Rt△BOE≌Rt△COF，
∴BE=CF，①
在Rt△AOE和Rt△AOF中，OE=OF，AO=AO，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF
∴AE=AF，②
由①、②得，AB=AC．
上述畫圖與證明過程中，哪里出錯了呢？
這說明我們今后在解題時又要注意什么呢？
在△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分線與邊BC的中垂線相交于點O，OE垂直AB于點E，那么三條線段AB、AC、BE有何等量關系？請你寫出來并加以證明．

Answer 1

解：圖形出現錯誤，如圖所示：


三條線段AB、AC、BE的等量關系為AB=AC+2BE，理由如下：
∵AO為∠BAC的平分線，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴AE=AF，
又OM為BC的垂直平分線，
∴OB=OC，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴BE=CF，
則AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE．
分析：上述畫圖出現錯誤，正確圖形如圖所示，說明今后解題時注意根據題意畫出相應的圖形，三條線段AB、AC、BE的等量關系為AB=AC+2BE，理由為：由AO為角平分線，OE垂直于AB，OF垂直于AC，利用角平分線定理得到OE=OF，再由AO為公共邊，利用HL得到直角三角形AOE與直角三角形AOF全等，由全等三角形的對應邊相等得到AE=AF，再由OM為線段BC的垂直平分線，利用線段垂直平分線定理得到OB=OC，利用HL得出直角三角形OBE與直角三角形OFC全等，由全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，等量代換可得證．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線定理，以及線段垂直平分線定理，全等三角形的判定方法有：SSS；ASA；AAS；SAS，以及HL（直角三角形判定全等的方法）．